最速降下曲線-08　-　到達時間

到達時間

まず基本は，

$$
{ \Large \displaystyle
\begin{equation}
\begin{split}
\alpha &= g \\
v &= gt \\
y &= \frac{1}{2} gt^2 \\
t^2 &= \frac{2y}{g} \rightarrow t = \sqrt{\frac{2y}{g}}\\
v &= g \sqrt{\frac{2y}{g}} = \sqrt{2gy}\\\\
\end{split}
\end{equation}
}
$$

最速降下曲線は，

$$
{ \Large \displaystyle
\begin{equation}
\begin{split}
x &= a ( \theta - sin \ \theta)\\
y &= a (1 - cos \ \theta) \\
\end{split}
\end{equation}
}
$$

となるので，θで微分すると，

$$
{ \Large \displaystyle
\begin{equation}
\begin{split}
dx &= a ( 1 - cos \ \theta) \ d \ \theta\\
dy &= a sin \ \theta \ d \ \theta\\
\end{split}
\end{equation}
}
$$

微小変位，ds，は，

$$
{ \Large \displaystyle
\begin{equation}
\begin{split}
ds^2 &= dx^2 + dy^2 = a^2 [( 1 - cos \ \theta)^2 + sin^2 \ \theta] \ d \ \theta^2\\
&= a^2[1 - 2 \ cos \ \theta + cos^2 \ \theta + sin^2 \ \theta] \ d \ \theta^2\\
&= 2a^2 [1 - cos \ \theta] \ d \ \theta^2\\
ds &= a \sqrt{2(1 - cos \ \theta)} \ d \ \theta\\
&= a \sqrt{2 \cdot 2 sin^2 \ \frac{\theta}{2}} \ d \ \theta\\
&= 2a \ sin \ \frac{\theta}{2} \ d \ \theta\\
\end{split}
\end{equation}
}
$$

ｙの式を書き換えると，

$$
{ \Large \displaystyle
\begin{equation}
\begin{split}
y &= a (1 - cos \ \theta) \\
&= 2a \ sin^2 \ \frac{\theta}{2}
\end{split}
\end{equation}
}
$$

から，
$$
{ \Large \displaystyle
\begin{equation}
\begin{split}
ds &= 2a \ sin \ \frac{\theta}{2} \ d \ \theta\\
y &= 2a \ sin^2 \ \frac{\theta}{2} \\
v &= \frac{ds}{dt} = \sqrt{2gy}\\
&= 2 \sqrt{ag} sin \ \frac{\theta}{2}\\
&= 2 \sqrt{ag} \frac{ds}{2a \ d \theta} \\
&= \sqrt{\frac{g}{a}} \frac{ds}{ d \theta} \\
dt &= \frac{ds}{v} = \sqrt{\frac{a}{g}} d \theta
\end{split}
\end{equation}
}
$$

積分すると，
$$
{ \Large \displaystyle
\begin{equation}
\begin{split}
T &= \int dt = \int_0^{\theta_f} \sqrt{\frac{a}{g}} d \theta = \sqrt{\frac{a}{g}} \theta_f \\
&= \sqrt{\frac{H}{g(1 - cos \ \theta_f)}} \theta_f \\
\end{split}
\end{equation}
}
$$

となります．．

到達時間

次ページは，，等時性，に関して考えていきます．